- Los números naturales
- Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
- El conjunto de los números naturales está formado por:
- N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
- La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
- La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
- 5 − 3
- 3 − 5
- El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la división es exacta.
- 6 : 2
- 2 : 6
- Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
- La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es exacta.
- Operaciones con números naturales
- Suma de números naturales a + b = c Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.
- Propiedades de la suma 1.Interna:
- a + b
- 2. Asociativa:
- (a + b) + c = a + (b + c)
- 3.Conmutativa:
- a + b = b + a
- 4. Elemento neutro:
- a + 0 = a
- Resta de números naturales a - b = c Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.
- Propiedades de la resta 1. No es una operación interna
- 2. No es Conmutativa
- Mutiplicación de números naturales a · b = c Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
- Propiedades de la multiplicación 1. Interna:
- a · b
- 2. Asociativa:
- (a · b) · c = a · (b · c)
- 3. Conmutativa:
- a · b = b · a
- 4. Elemento neutro:
- a · 1 = a
- 5. Distributiva:
- a · (b + c) = a · b + a · c
- 6. Sacar factor común:
- a · b + a · c = a · (b + c)
- División de números naturales D : d = c Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.
- Propiedades de la división 1.División exacta
- D = d · c
- 2. División entera
- D = d · c + r
- 3. No es una operación interna
- 4. No es Conmutativa.
- 5. Cero dividido entre cualquier número da cero.
- 6. No se puede dividir por 0.
- Prioridades en las operaciones 1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
- 2º.Calcular las potencias y raíces.
- 3º.Efectuar los productos y cocientes.
- 4º.Realizar las sumas y restas.
- Números enteros
El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. - = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
- Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.
- Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros.
- Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
- |−a| = a
- |a| = a
- Criterios para ordenar los números enteros 1. Todo número negativo es menor que cero.
- −7 < 0
- 2.Todo número positivo es mayor que cero.
- 7 > 0
- 3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
- −7 >− 10 |−7| < |−10|
- 4.De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
- 10 > 7 |10| > |7|
- Operaciones con números enteros Suma de números enteros 1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.
- 3 + 5 = 8
- (−3) + (−5) = − 8
- 2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.
- − 3 + 5 = 2
- 3 + (−5) = − 2
- Propiedades de la suma de números enteros 1. Interna:
- a + b
- 3 + (−5)
- 2. Asociativa:
- (a + b) + c = a + (b + c) ·
- (2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
- 5 − 5 = 2 + (− 2)
- 0 = 0
- 3. Conmutativa:
- a + b = b + a
- 2 + (− 5) = (− 5) + 2
- − 3 = − 3
- 4. Elemento neutro:
- a + 0 = a
- (−5) + 0 = − 5
- 5. Elemento opuesto
- a + (-a) = 0
- 5 + (−5) = 0
- −(−5) = 5
- Resta de números enteros La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
- a - b = a + (-b)
- 7 − 5 = 2
- 7 − (−5) = 7 + 5 = 12
- Propiedades de la resta de números enteros 1.Interna:
- a − b
- 10 − (−5)
- 2. No es Conmutativa:
- a - b ≠ b - a
- 5 − 2 ≠ 2 − 5
- Multiplicación de números enteros La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
- Regla de los signos
- 2 · 5 = 10
- (−2) · (−5) = 10
- 2 · (−5) = − 10
- (−2) · 5 = − 10
- Propiedades de la multiplicación de números enteros 1. Interna:
- a · b
- 2 · (−5)
- 2. Asociativa:
- (a · b) · c = a · (b · c)
- (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
- 6 · (−5) = 2 · (−15)
- -30 = -30
- 3. Conmutativa:
- a · b = b · a
- 2 · (−5) = (−5) · 2
- -10 = -10
- 4. Elemento neutro:
- a ·1 = a
- (−5)· 1 = (−5)
- 5. Distributiva:
- a · (b + c) = a · b + a · c
- (−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
- (−2)· 8 =- 6 - 10
- -16 = -16
- 6. Sacar factor común:
- a · b + a · c = a · (b + c)
- (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
- División de números enteros La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
- 10 : 5 = 2
- (−10) : (−5) = 2
- 10 : (−5) = − 2
- (−10) : 5 = − 2
- Propiedades de la división de números enteros 1. No es una operación interna:
- (−2) : 6
- 2. No es Conmutativo:
- a : b ≠ b : a
- 6 : (−2) ≠ (−2) : 6
- Potencia de números enteros La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:
- 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
- 2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
- Propiedades a0 = 1 ·
- a1 = a
- am · a n = am+n
- (−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128
- am : a n = am - n
- (−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8
- (am)n = am · n
- [(−2)3]2 = (−2)6 = 64
- an · b n = (a · b) n
- (−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216
- an : b n = (a : b) n
- (−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8
- Potencias de exponente entero negativo
- Raíz cuadrada de un número entero Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.
- El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número.
- Operaciones combinadas con números enteros Prioridades en las operaciones 1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
- 2º.Calcular las potencias y raíces.
- 3º.Efectuar los productos y cocientes.
- 4º.Realizar las sumas y restas.
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- Los números racionales
- Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números reales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.
- Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.
- Definición de números racionales.
- Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.
- Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.
- Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra Q, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números Q.
- Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son:
- Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.
- Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas.
- A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…
- Propiedades de los números racionales Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:
- Entre las propiedades de la suma y resta están:
- Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
- necesitara.
- ab+cd=ef Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:
- (ab+cd)−ef=ab+(cd−ef) Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:
- ab+cd=cd+ab Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.
- ab+0=ab Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.
- ab−ab=0 Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:
- Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.
- ab×cd=ef Esta además aplica con la división
- ab÷cd=ef Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.
- (ab×cd)×ef=ab×(cd×ef) Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona
- ab×cd=cd×ab Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:
- ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.
- ab×1=ab
- ab÷1=ab Ejemplos de números racionales Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí un ejemplo
- 57 Aunque también podría ser expresado de esta manera:
- 5/7 Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo:
- 3=31 Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos la misma respuesta:
- 155=3 También encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo:
- −6=−61 0,2424242424… también puede ser tomado como un número racional, pues sus decimales son periódicos, y podemos expresarlo en forma de fracción, así:
- 2499
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- Números irracionales
- Los números irracionales poseen infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
- Pi, , es el número irracional más conocido. Se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
- = 3.141592653589...
- Otros números irracionales son:
- El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.
- e = 2.718281828459...
- El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
- Otros ejemplos de numeros irracionales son las raices.